中國數學的難度相比較于美國難很多，所以在SAT沒改革前，SAT數學滿分考生比比皆是。進入新SAT時代后，從新SAT考試成績的數據統計中不難發現能到800分的考生是非常罕見的，780分以上的也是寥寥無幾，大部分都集中在700—750之間。是什么原因造成這個看似簡單卻拿不到最高分的考試呢?要想考到一個好的分數，除了日積月累的做練習題補充基礎，還要學會一些考試的技巧和解題的方法才能有所突破，今天新航道SAT小編帶來的分享或許能助攻你的數學800。

  學生在新SAT考試后，往往捶胸頓足的說：“哎，數學又因為馬虎丟分了!”那么，我們不妨先看看這個“馬虎”到底包括了幾個方面和維度。

  一、數學相關表述沒有看懂

  這個方面體現了中美的數學教學的差異：中國強調推導和運算，而美國更加注重計算本身的實際意義。新SAT要求考生能夠做到“quantitatively literate”，即：能夠看懂數學表述。

  比方說，絕大多數中國SAT考生都會計算一元一次方程Y=aX+b。但是，如下的表述卻構成了很多學生的難點：What?is?the?meaning?of?the?slope?in?the?equation?Y=aX+b?

  事實上，slope斜率是“針對每一個單位的自變量X的增加，因變量Y所產生的變化(增加或者減少)”，即：Slope?means?the?increase/decrease?of?the?dependent?variable?Y?with?respect?to?one?unit?increase?of?the?independent?variable?X.

  這個表述的重點目的，是讓學生知道數學的實際意義。

  比方說，由Y=aX+b可以推知其逆函數(又名：反函數)為X=(Y-b)/a。在數學運算上，這兩個方程是沒有差別的，他們可以計算出一致的結果。但是在數學實際應用含義上，二者卻有著明顯差別。

  表面上看，兩個公式的自變量和因變量不同，而恰恰自變量就是日常生活和工作的著手點。自變量是客觀生活中我們實際可以直接觀察或者調控的變量，同時基于它和因變量之間的關系，我們期待通過自變量的變化來推知因變量的變化。

  由此可見，自變量和因變量的關系是“拋磚引玉”，“窺斑見豹”：若自變量是“磚”，則因變量就是“玉”，如果自變量是“斑”，那么因變量就是“豹”。

  通過這個比較，學生可以看出：在SAT備考過程中，要逐漸掌握所有計算公式的實際應用含義。會計算僅僅是第一步，第二步是要學會以英文作為載體的數學表述。

  二、數學相關詞匯準備不充分

  這個方面看似不起眼，其實是大多數學生SAT數學丟分的主要原因：單詞不認識。很簡單，如果題目需要你選中一個integer，而你并不知道integer的意思是“整數”，那么這道題目你就不能確保答對。

  又如，題目說一個三角形是isosceles,而你碰巧不知道isosceles是“等腰三角形”的意思，那么你將會遺漏兩個決定性條件：兩條邊相等，兩個角相等。

  再如，如果題目說independent variable和dependent variable之間是linear relationship，而你既不知道independent variable是自變量X，也不知道dependent variable是因變量Y,同時你也不知道linear relationship是線性關系。那么，這句話的實質Y=aX+b(一元一次方程)就不可能被你獲知了。

  由這幾個例子可以看出：詞匯不穩，丟分最狠。因此，強烈建議廣大考生在備考過程中認真牢記數學詞匯。

  那么，這些數學詞匯到何處搜集呢?請用“AMC數學詞匯”為關鍵詞上網去搜。你會找到很多數學詞匯列表，在此我便不贅述了。

  三、數學知識體系中有遺漏點

  很多學生寧可承認自己數學沒有看懂，也不愿意承認自己是不會做某道題目，因為大家都覺得“數學簡單”，這時候承認自己不會就有點面子上過不去。

  事實上，美國的數學和中國的數學雖然面對同樣的知識體系，但是側重點不一樣，遇到陌生題目也在意料之中。

  關鍵是要提前周密準備，不打無準備之仗。因此，本文著重給出新SAT考試中學生需要掌握的知識點，請廣大考生認真排查。

  代數Algebra

  1、一元一次方程/不等式

  知識點 ▼

  例題1：(2016年5月的亞太題目)

  Salim?wants?to?purchase?tickets?from?a?vendor?to?watch?a?tennis?match.?The?vendor?charges?a?one-time?service?fee?for?processing?the?purchase?of?the?tickets.?The?equation?T?=?15n?+?12?represents?the?total?amount?T,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?n?tickets.?What?does?12?represent?in?the?equation?

  A)?The?price?of?one?ticket,?in?dollars

  B)?The?amount?of?the?service?fee,?in?dollars

  C)?The?total?amount,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?one?ticket

  D)?The?total?amount,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?any?number?of?tickets

  解析：第一句話給出的是題目的實際含義和背景。

  本題的考點是對于一元一次方程的解釋。對于本題的閱讀感到吃力的同學，請努力提高數學的閱讀理解水平。

  例題2：(2016年5月的亞太題目)

  Snow?fell?and?then?stopped?for?a?time.?When?the?snow?began?to?fall?again,?it?fell?at?a?faster?rate?than?it?had?initially.?Assuming?that?none?of?the?snow?melted?during?the?time?indicated,?which?of?the?following?graphs?could?model?the?total?accumulation?of?snow?versus?time?

  解析：“a faster rate”說的是斜率更大，因此在圖像表現上更加陡峭。中間停雪階段的積雪圖像應該是與x軸平行的線段。

  這種表達在物理的溶解，蒸發，凝華，升華等物態變化上比較常用，也是新SAT考察的一項重點。本題答案為A。做錯的同學需要復習相關知識。

  【真題下載：

  2016年5月亞太地區完整版新SAT真題下載

  2016年5月北美新SAT真題及答案下載】

  例題3：

  一元一次不等式，包括算法和意義不是中國廣大考生的難點，但是新SAT考試中側重圖像表達和理解，因此還是需要展示一下一元一次不等式的圖像。

  如圖，斜著的直線是y=2x-5的圖像。那么，y>2x-5的圖像就是這條直線的上方，因為針對每一個x值，直線上方的點都能夠滿足y>2x-5。因此，一元一次方程的圖像是一條直線，但是一元一次不等式的圖像則是由相應的直線所劃定的一片區域。

  例題4：

  一般的ratio的題目比較簡單，所以考試的時候會考綜合ratio的概念。這里提供一個假設的例子(不是真題，但是真題的難度與此相同)。

  某人從A走到B。先用了x小時,a速度從A走到C，然后又用了y小時，b速度從C走到B。問：該人從A走到B的平均速度。

  解答：速度=距離/時間。這是一個經典的ratio公式。按照這個公式，可以列出如下算式：Speed=(xa+yb)/(x+y)

  當然，這個算式還需要考慮到計算單位的轉換，如速度應該轉換為時速，才能和小時相乘。而且，如果原文增加了條件，如，在C點做了n分鐘的停留，則算式應該變成：Speed=(xa+yb)/(x+y+n/60)

  可見，對于ratio的考察，需要學生一定要弄清概念，整合條件，才能得出正確答案。這種題目的干擾項很有趣，很多美國學生會直接用(a+b)/2作為平均速度。

  例題5：

  在新SAT真題中考過的復合函數難度級別比較低。因此，我在下文給出一個假設的例子，該例子的難度級別更高一點，有利于學生的備考。

  F(x)=ax+b,?G(x)=cx+d,?求G[F(x)]和F[G(x)]之間的關系。

  解：G[F(x)]?=c?F(x)+d=?c?(ax+b)+d=acx+cb+d

  F[G(x)]=?a?G(x)+b=a(cx+d)+b=acx+ad+b

  可見：G[F(x)]-?F[G(x)]=?(c-1)b+(1-a)d,?G[F(x)]與F[G(x)]并不直接相等。

  以下給出一道復合函數的例子：(Official?Guide上的題目)

  A?function?f?satisfies?f?(2)?=?3?and?f?(3)?=?5.?A?function?g?satisfies?g(3)?=?2?and?g(5)?=?6.?What?is?the?value?of?f?(g(3))??

  (A)?2?(B)?3?(C)?5?(D)?6

  答案是B。

  例題6：(Official?Guide例題)

  The?stratosphere?is?the?layer?of?the?Earth’s?atmosphere?that?is?more?than?10?kilometers?(km)?and?less?than?50?km?above?the?Earth’s?surface.?Which?of?the?following?inequalities?describes?all?possible?heights?x,?in?km,?above?the?Earth’s?surface?that?are?in?the?stratosphere?

  (A)?|x+10|<50

  (B)?|x-10|<50

  (C)?|x+30|<20

  (D)?|x-30|<20

  解析：在新SAT中考核的和絕對值有關系的題目大多是衡量一個數軸上的距離。本題x的數值在10到50之間，即：x距離線段10到50的中點30的距離應該在20之內，所以答案應該是D。畫圖會輔助這類題目的解答。

  2、二元一次方程組/不等式

  二元一次方程組/不等式是在一元一次方程組/不等式的基礎上演化而來，本身沒有太多難點。在考試的時候，比較偏重的知識點有：

  例題10：(2016年5月的亞太題目)

  A?laundry?service?is?buying?detergent?and?fabric?softener?from?its?supplier.?The?supplier?will?deliver?no?more?than?300?pounds?in?a?shipment.?Each?container?of?detergent?weighs?7.35?pounds,?and?each?container?of?fabric?softener?weighs?6.2?pounds.?The?service?wants?to?buy?at?least?twice?as?many?containers?of?detergent?as?containers?of?fabric?softener.?Let?d?represent?the?number?of?containers?of?detergent,?and?let?s?represent?the?number?of?containers?of?fabric?softener,?where?d?and?s?are?nonnegative?integers.

  Which?of?the?following?systems?of?inequalities?best?represents?this?situation?

  解析：本題的重點就是閱讀理解。如果理解的不到位，就會選錯。本題答案是A，做錯的同學需要提高數學相關的閱讀理解。

  同理，二元一次方程組的另一個易錯點是沒有認清題目要求。

  比方說，大多數學生都會列二元一次方程組來習慣性的求解x,y，但是也許題目最終的要求是x+2y等于多少，這樣很多學生因為忽略最終要求就容易出錯。因此，二元一次方程組的解題關鍵，是一定要認真注意結尾的要求問的是什么。

  例題11：如下圖所示：

  藍色直線是y=2x-5,紅色直線是y=0.5x+15。滿足這個二元一次方程組的解是藍紅兩條直線的交點(40/3，65/3)。

  如果是二元一次不等式，則滿足條件的值為相應的區域。

  比方說：滿足y>2x-5的點落在藍色直線的上方，而滿足y<0.5x+15的點落在紅色直線的下方。

  因此，同時滿足這個二元一次方程組的點應該落在兩條直線交點左下方的上紅下藍的夾角之內。

  3、一元二次方程/不等式

  一元二次方程是新SAT數學的考試重點，也是一些學生會開始感覺到難度的題目。其知識點的重點是factoring，因式分解。以下列出知識點。

  例題15：(OfficialGuide上的題目)

  4、冪函數/指數函數/對數函數

  對于冪函數和指數函數的基本運算，新SAT強調的是如下知識點：

  例題17：

  In ?planning? maintenance ?for? a? city’s ?infrastructure,?a?civil?engineer?estimates?that,?starting?from?the?present,?the?population?of?the?city?will?decrease?by?10?percent?every?20?years.?If?the?present?population?of?the?city?is?50,000,?which?of?the?following?expressions?represents?the?engineer’s?estimate?of?the?population?of?the?city?t?years?from?now?

  解析：這道題目雖然考的是人口減少，但是其本質就是銀行的復利問題。答案是D。

  題目的真正難點是：計算單位要一致。題目中說：每20年減少10%，?則計算年代的單位應該是20年而不是單獨的一年。因此，t年的計數單位應該是t/20，而不能直接是t.

  例題18：(Official?Guide?上的題目)

  A?radioactive?substance?decays?at?an?annual?rate?of?13?percent.?If?the?initial?amount?of?the?substance?is?325?grams,?which?of?the?following?functions?f?models?the?remaining?amount?of?the?substance,?in?grams,?t?years?later?

  解析：這道題答案是A。

  從公式上看，這道題的自變量貌似是t，因此看起來像是指數函數。但是它的本質和冪函數里面的復利計算沒有什么差別。

  這種題目的真正難點是：計算單位要一致。比方說，這道題目里面的t如果不是years,而是months，那么指數部分就不能是t,?而應該是t/12。Annual?rate一定要和years這兩個變量的計算單位要一致。

  5、三角函數

  三角函數的第一大攔路虎是單詞，如trigonometry;?這部分的生詞建議學生多多準備。其知識點如下：

  例題19：(Official Guide上的題目)

  解析：由sinα=cos(90-α)知道，K一定是90度，即答案C，π/2。本題考核的是三角函數的基本知識。

  6、虛數的計算

  7、數論的基本運用

  說起數論，貌似很高深的意思。但是新SAT中考核的數論都是中國學生初中以前接觸到的很基礎的知識。

  比方說，要區分質數(prime?number)、合數(composite?number)。知道2是最小的質數，唯一是偶數的質數，質數是除了1和它本身，不含有其他因子的自然數。因此，當看到這樣一道題目的時候，就應該知道如何計算：

  What’s?the?sum?of?the?four?prime?numbers--?x,?y,?x-y?and?x+y?

  解析：當看到four?prime?numbers就要知道，這里大多數都應該是奇數。

  而如果x,y都是奇數，則x-y和x+y應該都是偶數。因為數論中清晰的表明：“奇數加減奇數得到偶數，偶數加減偶數得到偶數，偶數加減奇數得到奇數”。

  因為在所有的prime?numbers中，只能有一個偶數，故“x,y都是奇數”這個假設不成立，因此x和y中必然有個2。因為x-y是prime?number，所以y=2。

  再進一步，y=2時，x-2,?x,?x+2是三個連續的奇數，這其中必然有一個可以被3整除(數論中有“三個連續的自然數中，有一個可以被3整除”。

  由此可以推導出：“三個連續的奇數中，有一個可以被3整除”【不會這個推導證明的同學，可以去找你的老師補習了】)。

  那么，只能讓x-2=3，既滿足被3整除，又滿足prime?number的條件。因此，這四個prime?numbers變成了2,3,5,7，他們的和是17。

  這里先不給出例題，留出空間，讓學生可以多學習一下數論的實際應用。

  8、其他

  有的代數題目，貌似沒有歸在任何類別里面，其實只要靈活變通，答案自現。比方說：

  解析：這道題的公式非常復雜，是中國房貸中用到的“等額本息”的還款公式。

  然而，題目的要求卻非常簡單?！癵ives?P?in?terms?of?m,?r,?and?N”本身就是一個移項的要求。答案是B.

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